Statistics for complex variables and signals — Part I: Variables

This paper is devoted to the study of higher-order statistics for complex random variables. We introduce a general framework allowing the direct manipulation of complex quantities: the separation between the real and the imaginary parts of a variable is avoided. We give the rules to integrate and de...

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Published in:Signal processing 1996, Vol.53 (1), p.1-13
Main Authors: Amblard, P.O., Gaeta, M., Lacoume, J.L.
Format: Article
Language:English
Subjects:
Circularity
Complex random variables
Higher-order statistics
Tensors
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Description
Summary:This paper is devoted to the study of higher-order statistics for complex random variables. We introduce a general framework allowing the direct manipulation of complex quantities: the separation between the real and the imaginary parts of a variable is avoided. We give the rules to integrate and derive probability density functions and characteristic functions, so that calculations may be carried out. In the case of multidimensional variables, we use the natural framework of tensors. The study of complex variables leads to the extension of the notion of complex circular random variables already known in the Gaussian case. Dieser Beitrag beschäftigt sich mit der Untersuchung von Statistiken höherer Ordnung für komplexe Zufallssignale. Wir führen ein allgemeines Regelwerk ein, das die direkte Manipulation komplexer Gröen erlaubt: die Aufspaltung zwischen Real- und Imaginärteil einer Variablen wird umgangen. Wir geben die Regeln zum Integrieren und Differenzieren von Verteilungsdichtefunktionen und charakteristischen Funktionen an, so daβ Berechnungen ausgeführt werden können. Im Falle multidimensionaler Variablen benutzen wir das natürliche Regelwerk der Tensoren. Das Studium komplexer Variablen führt zu der Erweiterung der Notation komplexer zirkularer Zufallsvariablen, wie schon im Gaug̈b-Falle bekannt. Ce papier est dédié à l'étude des statistiques d'ordre supéérieur pour les variables aldéatoires à valeurs complexes. Nous introduisons un cadre théorique autorisant la manipulation directe de quantités complexes: la séparation en parties réelle et imaginaire est évitée. Nous donnons les règles de calcul pour intégrer et dériver des densités de probabilité ou des fonctions caractéristiques. Dans le cas de variables multidimensionelles, nous utilisons tout naturellement les tenseurs. De plus, l'étude des variables aléatoires complexes conduit à l'extension de la notion de circularité déjà connue dans le cas gaussien.
ISSN:0165-1684
1872-7557
DOI:10.1016/0165-1684(96)00071-0